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Tannenbaum
Wenn Zufallswerte in einer charakteristischen Form über einem Intervall verteilt werden, spricht man von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung. Alle Werte in einem Bereich [a, b] sind gleich wahrscheinlich. Andere Verteilungen sind natürlich möglich, da gibt es zum Beispiel die Gaussverteilung (der allgemeine Fall der Normalverteilung), die Binomialverteilung oder die Exponentialverteilung, und sicherlich noch einige andere mehr. Die Gaussverteilung hat jedoch eine ganz zentrale Bedeutung in der Statistik, das wird hier noch ersichtlich werden.
Wenn man sich jetzt vorstellt, dass man ein zweidimensionales Zahlenpaar würfelt, und die jeweilige Komponente entsprechend verteilt ist, lassen sich spannende Muster erzeugen. Unter anderem eben auch ein Tannenbaum.
Diese Tannenbaumverteilung ist allerdings relativ komplex zu programmieren, und lässt sich nur ebenso umständlich mathematisch beschreiben, da es eine abschnittsweise gleichverteilte Häufigkeitsverteilung darstellt. Anschaulich kann man sich vorstellen, dass in den Dreiecken des Tannenbaums alle Werte gleich wahrscheinlich sind.
Aber jetzt geht es eigentlich erst richtig los: Wenn man nun mehrere Tannenbäume überlagert, sollte man doch annehmen, da die Werte innerhalb des Tannenbaumes ja allesamt gleich wahrscheinlich sind, dass wieder ein Tannenbaum herauskommt. Aber dem ist nicht so!
Diese Erkenntnis ist fundamental in der Statistik. Es entsteht eine Gaussverteilung!
Hier sieht man drei Animationen, hier werden 2 bis 15 Tannenbäume mit jeweils 5000 Punkten überlagert. Der Tannenbaum verschwindet recht schnell, was übrig bleibt, ist ein Fleck in der Mitte, der nach außen heller wird. Das ist eine zweidimensionale Gaussverteilung.
Schön zu erkennen ist auch, dass sich die Verteilung nach dem etwa zehnten Baum nicht mehr maßgeblich verändert, sondern nur noch leicht fluktuiert.
Hier ein extremeres Beispiel mit jeweils 50000 Punkten, bei 1 bis 6 Bäumen:
Hier erkennt man den Baum länger; zudem wird die Gaussverteilung länglicher in y-Richtung. Aber das ist kein Problem, denn skalierte man die y-Achse entsprechend (mit einem Stauchungsfaktor in diesem Fall), entstünde erneut eine nahezu perfekte Gaussverteilung.
Der Härtetest sind 1 bis 6 Bäume mit jeweils 500000 Punkten:
Der Baum ist nur minimal länger zu erkennen als bei 50000 Punkten (obwohl die Anzahl der Punkte eine ganze Größenordnung höher ist). Hier offenbart sich uns ein mächtiges statistisches Prinzip: Der Zentrale Grenzwertsatz.
Er besagt, dass durch Summation nahezu beliebiger Verteilungen schon nach relativ wenigen Durchläufen eine Gaussverteilung entsteht. Selbst die Verzehnfachung der Punkte (die uns hier einen quasi nahtlosen Tannenbaum liefert) verhindert nicht, dass die Gaussverteilung entsteht. Die fundamentale Bedeutung der Gaussverteilung lässt sich hier erahnen. Das bedeutet zum Beispiel für die Praxis, dass Messfehler in der Regel gaussisch verteilt sind, was die Fehler- und Ausgleichsrechnung in der Regel vereinfacht.
Der Zentrale Grenzwertsatz lässt sich aber auch bei einfacheren Anwendungen zeigen. Nimmt man zum Beispiel die Überlagerung (=Addition) beliebig vieler gleichverteilter Zufallsvariablen entsteht wieder eine Gaussverteilung. Bei zwei Variablen kann man sich das anschaulich vorstellen. Nehmen wir an, die Variablen liegen zwischen 0 und 10. Dann ist der Wert 10 der wahrscheinlichste Wert für die Addition, da es dafür die meisten Kombinationen gibt. 0 oder zwanzig sind am unwahrscheinlichsten. Zwischen 0..10 steigt die Wahrscheinlichkeit also, erreicht bei 10 ihr Maximum, und sinkt danach wieder ab. Die Grundform einer Gaussverteilung wird genauso beschrieben (eigentlich ist die Verteilung hier eine einfache Dreiecksverteilung, aber bei mehreren Variablen wird diese Verteilung der Gaussverteilung immer ähnlicher).
Das Root-Skript gibt es hier zum Download: tannenbaum.c (4 KB).
