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Vektorfelder

Vektorfelder sind Funktionen, bei denen ein Ortsvektor auf einen Vektor abgebildet wird. Anders ausgedrückt: Jedem Ort im Raum wird ein Vektor zugeordnet.

Es ist relativ schwer, sich gegebene Vektorfelder graphisch vorzustellen. Doch zum Glück schafft Maple da Abhilfe: Der fieldplot- bzw. fieldplot3d-Befehl.

fieldplot (zweidimensional)

fieldplot kann benutzt werden, um ein zweidimensionales Vektorfeld zu zeichnen. Betrachten wir folgendes Beispiel:

• # Neu starten und Plot-Paket einbinden
• restart;
• with (plots);

Dann definieren wir unser zweidimensionales Vektorfeld:

• # Vektorfeld definieren
• f := (x, y) -> Vector([sin(x) * y, cos(x)]);

Das plotten wir nun in Maple wiefolgt:

• # Plot erstellen
• fieldplot(f(x, y), x=-1..1, y=-1..1);

Der erste Parameter gibt das Vektorfeld an (Argumente nicht vergessen!), der zweite und dritte Parameter geben die Grenzen des darzustellenden Intervalls an. Hier ist das Ergebnis zu sehen:

Anscheinend sorgen die trigonometrischen Terme (sin, cos) für Wirbel im Feld.

Das Maple-Skript gibt es hier zum Download: fieldplot.mw (17 KB).

fieldplot3d (dreidimensional)

fieldplot3d muss hingegen benutzt werden, wenn dreidimensionale Vektorfelder gezeichnet werden sollen. Wieder ein Beispiel:

• # Neu starten und Plot-Paket einbinden
• restart;
• with (plots);

Dann definieren wir unser nun dreidimensionales Vektorfeld:

• # Vektorfeld definieren
• f := (x, y, z) -> Vector([sin(x) * y, cos(x), z^2 + x]);

Das plotten wir nun in Maple analog zum zweidimensionalen Fall, allerdings jetzt unter Verwendung des fieldplot3d-Befehls, und unter Angabe eines dreidimensionalen Intervalls:

• # Plot erstellen
• fieldplot3d(f(x, y, z), x=-1..1, y=-1..1, z=-1..1, axes=boxed);

Zudem lassen wir uns noch eine Box darum anzeigen für bessere Übersichtlichkeit:

Dieses kann auch mit der Maus gedreht werden, sodass mensch sich einen guten Eindruck von den Beschaffenheiten des Feldes machen kann:

Besonders interessant ist diese Ansicht:

Es lassen sich auf einmal Symmetrien erkennen, die beim Betrachten der mathematischen Beschreibung des Feldes gar nicht so sehr auffallen. Insgesamt ist der fieldplot-Befehl also sehr praktisch.

Das Maple-Skript gibt es hier zum Download: fieldplot3d.mw (17 KB).

Anwendungen dieses Befehls sind zum Beispiel in der Physik die Auswertung und Analyse von Strömungsfeldern.

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Vector Fields

Vector fields are functions that assign a vector to a vector, meaning that every position in space is assigned a vector.

Imagining a given vector field graphically is rather hard. Luckily, Maple provides the commands fieldplot and fieldplot3d.

fieldplot (two-dimensional)

fieldplot can be used to plot a two-dimensional vector field. Let us take a look at this example:

• # Restart and include the plot package
• restart;
• with (plots);

Define the two-dimensional vector field:

• # Define vector field
• f := (x, y) -> Vector([sin(x) * y, cos(x)]);

And now plot it as follows:

• # Plot it
• fieldplot(f(x, y), x=-1..1, y=-1..1);

The first parameter specifies the vector field to be plotted (don't forget the arguments!), the second and third specify the interval to be plotted. YOu can see the result here:

Apparently, the trigonometric terms (sin, cos) are causing the field to be rather curly.

The whole Maple script can be downloaded here: fieldplot.mw (17 KB).

fieldplot3d (three-dimensional)

fieldplot3d has to be used if three-dimensional fields are to be plotted. Another example:

• # Restart and import the plot package
• restart;
• with (plots);

Define the three-dimensional vector field:

• # Define vector field
• f := (x, y, z) -> Vector([sin(x) * y, cos(x), z^2 + x]);

This field can be plotted similar to the two-dimensional field. The fieldplot3d command has to be used, and the to-dimensional interval becomes a three-dimensional interval:

• # Plot
• fieldplot3d(f(x, y, z), x=-1..1, y=-1..1, z=-1..1, axes=boxed);

Additionally, we draw a box around the field, this gives us a better overview:

This image can be turned and rotated with the mouse in order to get a better impression of the field:

This view is rather interesting:

Suddenly, symmetries appear that have not been clearly visible by just looking at the mathematical formula. This makes the fieldplot comands incredibly useful.

The whole Maple script can be downloaded here: fieldplot3d.mw (17 KB).

For instance, the fieldplot commands can be applied in phycics when analysing flow fields.

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